Arrow ‘s impossible Theorem: valóban van-e “tisztességes” szavazási rendszer?

Minden szavazat számít. Ez a kifejezés a demokrácia egyik alappillére. Ahhoz azonban, hogy közelebb legyen a valósághoz, ennek a meghatározásnak némi módosításra van szüksége. Minden szavazás számít, de attól függően, hogy milyen módon számít, az eredmény eltérő lehet. Problémásnak hangzik, igaz? Ha együttesen úgy döntünk, hogy a kedvenc gyümölcsünkre szavazunk, akkor az eredménynek egyhangúnak kell lennie—ez mangó. Nos, ez nem olyan egyszerű. Ritkán szavazunk abszolút többséggel. Ritkább még a helyzet, amikor a szavazás egyhangú.

A legtöbb esetben a preferenciák választéka nem lesz egyértelmű többség. Ilyen helyzetekben, mi is megy le a különböző pályák. Egyszerűen kiválaszthatjuk azt, amelyik a legtöbb szavazatot kapja. Kiiktathatjuk azt, akinek a legkevesebb szavazata van, és lesz még egy szavazókör. Rávehetnénk az embereket, hogy rangsorolják mindegyiket a preferencia sorrendjében, és megnézhetnénk, melyik kapja a legtöbb első rangú szavazatot. Még egy még kifinomultabb szavazási rendszert is megvalósíthatnánk. Azt látjuk, hogy az egyes szavazási rendszerek eredményei általában eltérnek egymástól, és néha nincs is értelme. Ha a mangó a szavazatok 35% – át, a görögdinnye 30% – át kapta, a maradék pedig a többi gyümölcshöz került, akkor is kijelenthetjük, hogy a mangó a győztes? Talán. De mi lenne, ha az összes többi gyümölcsöt kiiktatnánk, és revotálnánk? Teljesen lehetséges, hogy az összes szavazat, amely más gyümölcsökre ment, a görögdinnyére vált. A mangóval való első alkalom rossz lenne, ugye? Arrow ‘ s impossible theorem
Mindenféle szavazási módszerrel ilyen problémákba ütközünk. Valójában lehetetlen egy következetesen tisztességes szavazási rendszer, amely ésszerű eredményeket hoz. Ez a bizonyíték lényegében Arrow lehetetlenségi tétele. Ahhoz, hogy ezt részletesebben megértsük, először merüljünk bele abba, hogy a nyíl milyen ésszerű kritériumokat ír elő arra, hogy a szavazási rendszer tisztességes legyen.

Mi a tisztességes szavazási rendszer?
Kenneth J. Arrow, A 20. század egyik legragyogóbb gazdasági elméje és a legfiatalabb közgazdász, aki Nobel-díjat kapott, széles körben dolgozott a tisztességes szavazási rendszereken. Annak érdekében, hogy meghatározzák a méltányosság a rendszer, Arrow kinyújtott egy sor ésszerű kritériumokat, amelyeket teljesíteni kell.

Minden szavazó korlátlan a preferenciák lehetnek. Mindegyiknek lehet bármilyen “racionális” preferenciája.
A preferenciáknak “tranzitívnek”kell lenniük. Ha inkább a mangót, mint a görögdinnyét, a görögdinnyét a banánt részesíti előnyben, akkor inkább a mangót kell előnyben részesítenie a banánnal szemben. Ha ebben a forgatókönyvben valamilyen megmagyarázhatatlan okból jobban szereted a banánt, mint a mangót, akkor a preferenciák “intransitívvá”válnak.
Az” egyhangúság kritériumának ” teljesülnie kell. Ha minden szavazó előnyben részesíti a mangót a banánnal szemben, akkor az Általános eredménynek azt kell jeleznie, hogy a csoport a mangót részesíti előnyben a banán felett.
Nem lehetnek diktátorok. A választók preferenciái nem igazodhatnak egyetlen választópolgár szigorú preferenciáihoz sem. Ha az egyik szavazó úgy dönt, hogy a görögdinnyét választja kedvencének, akkor a többi szavazót nem befolyásolhatja ez a döntés, és úgy érzi, “kénytelen” felvenni a görögdinnyét.
“Függetlennek kell lennie az irreleváns alternatíváktól”. Az egyik elem előnyben részesítése a másikhoz képest egy pár elemben nem függhet a keverék többi elemétől. Ha az almát narancs helyett választja, akkor preferenciái nem változhatnak annak alapján, hogy a banánról alkotott vélemény hogyan változhat a szavazókörben.
Amikor első pillantásra ezeket a kritériumokat, úgy tűnik, meglehetősen nyilvánvaló. Ideális esetben a kedvenc gyümölcsünk kiválasztásához használt szavazási rendszernek vagy választott képviselőinknek meg kell felelniük ezeknek a kritériumoknak. Elemezzük néhány legnépszerűbb szavazási rendszerünket, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy megfelelnek-e az Arrow által meghatározott “ésszerű” méltányossági kritériumoknak. Spoiler figyelmeztetés:nem! A Többes Módszer
Ez a szavazás legegyszerűbb formája. Minden szavazó jelzi, hogy csak az egyik jelöltet részesíti előnyben a szavazólapon. Távolodik a gyümölcs példától (végül!), minden választópolgár kiválasztja a legjobb választást a választáson. Ezután a legtöbb szavazattal rendelkező jelöltet győztesnek nyilvánítják. Ebben a szavazási rendszerben azonban nincs függetlensége az irreleváns alternatíváknak. Vegyük úgy, hogy Alex, Brenda és Clara a szavazólapon vannak. Alex a szavazatok 40% – át kapja, Brenda 35% – ot, Clara pedig 25% – ot. Megy a több módszer, Alex a világos győztes. Ha azonban Clara kilépett volna a versenyből, és minden szavazója Brenda-ra szavazna Alex helyett, az megváltoztatná a mérleg egyensúlyát. Clara kiesése megváltoztathatja a szavazók preferenciáit Brenda és Alex között. Emellett a szavazók kedvelhetik Alexet Brenda és Brenda felett Clara felett, de kedvelhetik Clara-t Alex felett is. Ezért előfordulhat, hogy a preferenciák nem tranzitívek.
Azonnali lefutási módszer
Ez sokkal jobb módszer az egyszerű pluralitáshoz képest. Sőt, az azonnali menekültáradat számos önkormányzati és nem önkormányzati választáson népszerű. Ebben a módszerben a szavazók nem csak kiválasztják a legjobb választást,hanem minden jelöltet előnyben részesítenek. Minden forduló végén eltávolítják a legkevesebb szavazattal rendelkező jelöltet, mint a szavazók elsődleges preferenciáját. Ha Brenda csak az első preferencia szavazatok 30%-át kapja meg, akkor megszűnik. A következő fordulóban Brenda összes támogatója szavazatát a második választásra adják, mondjuk Alex. Ez a folyamat addig folytatódik, amíg meg nem kapjuk a többséget. Hatékonynak tűnik, nem? Nos, nem egészen. Ez a módszer még mindig nem tér vissza minden esetben ésszerű eredményekhez. Tekintsük a következő esetet:

A helyi választásokon 9 szavazó van (ez egy nagyon kis szomszédság). Ez a 9 szavazó adja meg a sorrendet Alex, Brenda és Clara számára. 4 közülük Clara-Alex-Brenda-val megy. 3 közülük megy Brenda-Alex-Clara. Csak 2 közülük választja Alex-Clara-Brenda. Alex egyértelműen megkapta a legkevesebb első preferencia szavazatot, így megszűnik. A következő fordulóban a preferenciák 6 Clara első és Brenda második, míg csak 3 Brenda első és Clara második. Clara az egyértelmű győztes. Az első fordulóban azonban a 9 szavazó közül 6 Alexet részesítette előnyben Clara felett. Ha egyszerű választás lenne Alex és Clara között, Alex nyert volna. Brenda felvétele megváltoztatta ezt az eredményt. Az irreleváns alternatívák továbbra is spoiler szerepet játszanak!

Borda Számlálási Módszer
Ez a módszer megpróbálja kezelni az azonnali lefutás kérdését azáltal, hogy pontokat rendel az egyes preferencia szintekhez. A legalacsonyabb preferencia 1 pontot kap, a második legalacsonyabb 2 pontot kap, a harmadik legalacsonyabb 3 pontot kap, stb. A táblázat szerint a Borda gróf pontjai a következők: – Alex: 20, Brenda: 15, Clara: 19

Alex a legtöbb ponttal egyértelmű győztes. Ez helyénvalónak tűnik, igaz?

Vegyünk egy másik példát. Ezúttal négy jelölt van: Alex, Brenda, Clara és Daniel.

Szavazók száma 6 2 3
1. választás (4 pont) Alex (24.) Brenda (8.) Clara (12.)
2. választás (3 pont) Brenda (18.) Clara (6.) Daniel (9.)
3. választás (2 pont) Clara (12) Daniel (4) Brenda (6)
4. választás (1 pont) Daniel (6) Alex (2) Alex (3)
Ismét a Borda count pontok a következők: – Alex: 29, Brenda: 32, Clara: 30, Daniel: 19

Ebben az esetben Brendának van a legtöbb pontja, tehát nyilvánvalóan ő a győztes, igaz? Talán. Azonban nézd meg alaposan az asztalt. Figyeljük meg, hogy Alex a legtöbb első preferencia szavazatok. Ha a szavazók többsége Alexet választja a preferált választásnak, nem ő lenne a választás valódi győztese?

Az Egyesült Királyságban a választási Reform Társaság meglehetősen kecsesen foglalta össze ezt a kérdést:

“A Borda Gróf inkább széles körben elfogadható jelölteket választ, nem pedig a többség által támogatott jelölteket.”

Számos más választási rendszert is meg tudnánk vizsgálni, de ugyanazt a következtetést fogjuk levonni: a rendszerek nem ésszerűen tisztességesek. Lehetetlen, hogy egy olyan rendszer, amely ésszerűen tisztességes, és biztosítja értelmes eredményeket minden alkalommal—legalábbis most. Örülnék, ha látnám, hogy az egyik zsenik odakinn valóban egy tökéletesen tisztességes szavazási rendszert hoznak létre!

Arrow Lehetetlenségi tételének kritikája
Míg Arrow tétel már széles körben tekintik, mint egy szeminárium darab munka területén a társadalmi választás, ez nem egy pár kérdés. Míg az Arrow az egyes szavazók preferenciarendszerét jelenti, nem veszi figyelembe az egyes preferenciák intenzitását. Egy skálán 1 nak nek 5, mennyivel több egy választópolgár inkább az első választás, mint a második? Néha a különbség marginális lehet (1), máskor pedig a különbség nagy lehet (5). A tétel a szavazók közötti interperszonális összehasonlítást is kihagyja. Lényegében, szavazó a lehet, hogy több nyereséget Alex megnyerte a választást, mint a választó B. B lehet lényegesen rosszabb-off, mint a Ha Alex megnyeri a választást (bármilyen okból). Végül Arrow tétele azt feltételezi, hogy a választói preferenciák racionálisak. A társadalom egész idő alatt ritkán viselkedett racionálisan … ha valaha is.

Vélemény, hozzászólás?